Variables aléatoires discrètes
Exercice 1
Une entreprise pharmaceutique décide de faire des économies sur les tarifs d’affranchissements des courriers
publicitaires à envoyer aux clients. Pour cela, elle décide d’affranchir, au hasard, une proportion de 3 lettres sur
5 au tarif urgent, les autres au tarif normal.
1. Quatre lettres sont envoyées dans un cabinet médical de quatre médecins : quelle est la probabilité des
événements :
A : «Au moins l’un d’entre eux reçoit une lettre au tarif urgent».
B : «Exactement 2 médecins sur les quatre reçoivent une lettre au tarif urgent».
2. Soit X la variable aléatoire : «nombre de lettres affranchies au tarif urgent parmi 10 lettres» : Quelle est
la loi de probabilité de X, quelle est son espérance, quelle est sa variance ?
Exercice 2
On prend au hasard, en même temps, trois ampoules dans un lot de 15 dont 5 sont défectueuses. Calculer la
probabilité des événements :
A : au moins une ampoule est défectueuse ;
B : les 3 ampoules sont défectueuses ;
C : exactement une ampoule est défectueuse.
Exercice 3
Un avion peut accueillir 20 personnes ; des statistiques montrent que 25% clients ayant réservé ne viennent pas.
Soit X la variable aléatoire : «nombre de clients qui viennent après réservation parmi 20». Quelle est la loi de
X ? (on ne donnera que la forme générale) quelle est son espérance, son écart-type ? Quelle est la probabilité
pour que X soit égal à 15 ?
Exercice 4
L’oral d’un concours comporte au total 100 sujets ; les candidats tirent au sort trois sujets et choisissent alors le
sujet traité parmi ces trois sujets. Un candidat se présente en ayant révisé 60 sujets sur les 100.
1. Quelle est la probabilité pour que le candidat ait révisé :
(a) les trois sujets tirés ;
(b) exactement deux sujets sur les trois sujets ;
(c) aucun des trois sujets.
2. Définir une variable aléatoire associée à ce problème et donner sa loi de probabilité, son espérance.
Exercice 5
Un candidat se présente à un concours où, cette fois, les 20 questions sont données sous forme de QCM. A
chaque question, sont proposées 4 réponses, une seule étant exacte. L’examinateur fait le compte des réponses
exactes données par les candidats. Certains candidats répondent au hasard à chaque question ; pour ceux-la,
définir une variable aléatoire associée à ce problème et donner sa loi de probabilité, son espérance.
Exercice 6
Dans une poste d’un petit village, on remarque qu’entre 10 heures et 11 heures, la probabilité pour que deux
personnes entrent durant la même minute est considérée comme nulle et que l’arrivée des personnes est indépendante
de la minute considérée. On a observé que la probabilité pour qu’une personne se présente entre la
minute n et la minute n+1 est : p = 0:1. On veut calculer la probabilité pour que : 3,4,5,6,7,8... personnes se
présentent au guichet entre 10h et 11h.
1. Définir une variable aléatoire adaptée, puis répondre au problème considéré.
2. Quelle est la probabilité pour que au moins 10 personnes se présentent au guichet entre 10h et 11h ?
Exercice 7
Si dans une population une personne sur cent est un centenaire, quelle est la probabilité de trouver au moins un
centenaire parmi 100 personnes choisies au hasard ? Et parmi 200 personnes ?
Exercice 8
Un industriel doit vérifier l’état de marche de ses machines et en remplacer certaines le cas échéant. D’après
des statistiques précédentes, il évalue à 30% la probabilité pour une machine de tomber en panne en 5 ans ;
parmi ces dernières, la probabilité de devenir hors d’usage suite à une panne plus grave est évaluée à 75% ;
cette probabilité est de 40% pour une machine n’ayant jamais eu de panne.
1. Quelle est la probabilité pour une machine donnée de plus de cinq ans d’être hors d’usage ?
2. Quelle est la probabilité pour une machine hors d’usage de n’avoir jamais eu de panne auparavant ?
3. Soit X la variable aléatoire «nombre de machines qui tombent en panne au bout de 5 ans, parmi 10
machines choisies au hasard». Quelle est la loi de probabilité de X, (on donnera le type de loi et les
formules de calcul), son espérance, sa variance et son écart-type ?
4. Calculer P[X = 5].
Exercice 9
Une population comporte en moyenne une personne mesurant plus de 1m90 sur 80 personnes. Sur 100 personnes,
calculer la probabilité qu’il y ait au moins une personne mesurant plus de 1.90m (utiliser une loi de
Poisson). Sur 300 personnes, calculer la probabilité qu’il y ait au moins une personne mesurant plus de 1.90m.
Solution
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